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@@ -221,5 +221,10 @@ GPT解释：同态加密的解谜过程固定。难度是受解密密钥和算
 - example: a square 正方形，不管怎么作用都具有对称性，把8种对称性作用力放在一起就是group of symmetry。正方形的这个例子是一种finite group，自然就有infinite group，如圆
 - 学习的意义是知道对称性之间如何作用影响的：作用A + 作用B = 作用C
 - 从「对称性」和「对称性的复合」- composing symmetries 可以引申例子：Square materices, Molecular, Cryptography, numbers.
-- Numbers as group: addditive 加法 + multiplicative 乘法
+- Numbers as group: addditive 加法 + multiplicative 乘法 -> numebrs as actions, not just counting things.
+- why numbers are actions?
+- 1）加法可以看成是groups of line symmetries，aka Additive group of real number 实数加法群，甚至在直角坐标系xy轴中这个结论也成立，也就是Additive group of complex numbers
+- 3) 乘法可以看成是 group of stretching/squishing actions，aka multiplicative group of positive real numbers -> multiplicative group of complex numbers
+ `GPT解释number的各种分类：在等式x²+1 = 0中，无real numbers解，因为实数不可能是负数，可是可以有复数解，解是个虚数imaginary unit。还有，5+0i是pure real numbers，0+2i是pure imaginary numbers，3+4i是general complex numbers`
+- 剩10分钟幂函数这块明天在看。
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