-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Default.htm
392 lines (384 loc) · 10.2 KB
/
Default.htm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
<html>
<head>
<title>Conic Intersections</title>
</head>
<body bgcolor="#CCFFFF">
<h1 align="center">Konusni preseci</h1>
Up to date <a href="Conics.zip">fajlovi</a>.
Tekst koji sledi nije up to date.
<p>
<a href="Conics.gif"><img src="Conics.gif"
alt="Click to zoom in"
align="right"
width="40%"></a>
<h2>Uvod</h2>
Namena ovog teksta je da diskutuje pisanje programa koji sa ulaza cita definicije tacaka, pravih i konusnih preseka, a na izlaz ispisuje
<a href="http://www.cs.indiana.edu/docproject/programming/postscript/postscript.html">PostScript</a>
program koji predstavlja odgovarajuci crtez.
Tacka
<math>
<em>A</em>
</math>
moze biti definisana kao:
<ol type="i">
<li> slucajno izabrana tacka u ravni: <code>A=Random()</code>,
<li> slucajno izabrana tacka na vec poznatoj pravoj
<math>
<em>p</em>
</math>: <code>A=Random(p)</code>,
<li> presek dve vec poznate prave,
<li> druga tacka preseka poznate prave i konusnog preseka cija je jedna tacka preseka poznata.
</ol>
Slicno vazi i za definisanje ostalih elemenata crteza.
Svaki element konstrukcije moze biti vidljiv ili nevidljiv.
Nevidljivi elementi konstrukcije ucestvuju u gradnji konstrukcije
ali se ne prikazuju na crtezu.
Vidljive prave se crtaju jednostavnom PostScript komandom,
vidljive tacke su oblika malog osmougla a
konusni presek je izlomljena linija sa dovoljnim brojem temena da izgleda glatko.
<p>
Sve konstrukcije bice izvedene tako da ne izvode iz skupa racionalnih tacaka.
Tacke i prave se interno u programu predstavljaju svojim homogenim koordinatama, sto znaci da se sa racionalnih koordinata
<math>
(<em>x</em>, <em>y</em>)
</math>
preslo na celobrojne
<math>
(<em>xz</em>, <em>yz</em>, <em>z</em>)
</math>
(<math>
<em>z</em>
</math>
je Najmanji Zajednicki Sadrzalac za imenioce razlomaka
<math>
<em>x</em>
</math>
i
<math>
<em>y</em>
</math>).
Konusni presek je lista od bar pet tacaka, koliko je neophodno da jednoznacno odredi tu koniku.
<p>
Imena objekata koji se na crtezu nalaze bice stampana koriscenjem LaTeX okoline
<code>
{picture}
</code>
da bi velicina fonta na crtezu bila uskladjena sa velicinom fonta u pratecem tekstu i da se ne bi menjala pri skaliranju PostScripta.
<h2>Razrada</h2>
Slede objasnjenja koja se mogu pratiti bez predznanja iz Projektivne geometrije.
<p>
Ravan crtanja smestamo u trodimenzioni euklidski prostor kao ravan cija je jednacina
<math>
<em>z</em> = 1
</math>.
Tacke iz ravni crtanja projektujemo pravolinijski na jedinicnu sferu.
Centar projektovanja je koordinatni pocetak.
Svaka tacka iz ravni crtanja odredjuje zrak projektovanja koji je jedna prava kroz koordinatni pocetak.
Pravu koja prolazi kroz koordinatni pocetak zovemo projektivna tacka.
<p>
Primetimo da postoje projektivne tacke koje nisu zraci projektovanja tacaka iz ravni crtanja.
Takve projektivne tacke su horizontalne prave koje prolaze kroz koordinatni pocetak.
<p>
Zraci projektovanja tacaka koje leze na pravoj u ravni crtanja obrazuju ravan.
Ravan koja prolazi kroz koordinatni pocetak zovemo projektivna prava.
Horizontalna ravan koja prolazi kroz koordinatni pocetak je jedina projektivna prava koja ne nastaje projekcijom neke prave iz ravni crtanja.
<p>
Izmedju skupa projektivnih tacaka i skupa projektivnih pravih uspostavljamo preslikavanje na sledeci nacin. Projektivna tacka i projektivna prava su
<h2>Stari Tekst</h2>
<dl compact>
<dt> <strong>Definicija</strong>. <dd>
P-tackom nazivamo pravu u
<math>
<em>R</em><sup>3</sup>
</math>
koja prolazi kroz koordinatni pocetak.
P-prava je ravan u
<math>
<em>R</em><sup>3</sup>
</math>
koja takodje prolazi kroz koordinatni pocetak.
Za P-tacku kazemo da pripada P-pravoj ako odgovarajuca
prava pripada ravni u uobicajenom smislu u
<math>
<em>R</em><sup>3</sup>
</math>.
</dl>
<p>
P-tacke i P-prave su predmet izucavanja Projektivne geometrije u ravni.
Postoji i drugaciji nacin preciziranja predmeta izucavanja
Projektivne planimetrije, naime aksiomatski pristup,
ali on ovde radi jednostavnosti izlaganja nece biti naveden.
<p>
Neka je
<math>
<em>A</em>
</math>
P-tacka i
<math>
(<em>x, y, z</em>)
</math>
uredjena trojka iz
<math>
<em>R</em><sup>3</sup>
</math>
koja joj pripada.
Ako vazi
<math>
<em>x</em><sup>2</sup> +
<em>y</em><sup>2</sup> +
<em>z</em><sup>2</sup> =/= 0
</math>
tada
<math>
(<em>x, y, z</em>)
</math>
zovemo <em>homogene koordinate</em> P-tacke
<math>
<em>A</em>
</math>.
Primetimo da ako su
<math>
(<em>x, y, z</em>)
</math>
homogene koordinate P-tacke
<math>
<em>A</em>
</math>
onda su to i
<math>
(<em>kx, ky, kz</em>)
</math>
za svaki realan broj
<math>
<em>k</em> =/= 0
</math>.
<p>
Prema tome imamo sledece parce koda.
<blockquote>
<pre>
type point=^record x,y,z: real end;
function newpoint(x0,y0,z0: real): point;
var p: point;
begin
new(p);
p^.x:=x0; p^.y:=y0; p^.z:=z0;
newpoint:=p
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Ravan koja prolazi kroz koordinatni pocetak u potpunosti je odredjena
svojom normalom (prava!) u koordinatnom pocetku.
Na taj nacin ostvarena je prirodna bijekcija skupova P-tacaka i P-pravih
Projektivne planimetrije.
Homogene koordinate P-prave se definisu da budu homogene koordinate
odgovarajuce P-tacke.
<blockquote>
<pre>
type line=point;
</pre>
</blockquote>
<p>
Ako P-tacka pripada P-pravoj,
onda je skalarni proizvod njihovih homogenih koordinata jednak nuli,
jer je svaka prava u ravni normalna na normalu te ravni.
<blockquote>
<pre>
function scalar(p: point; l: line): real;
begin
scalar:=p^.x*l^.x + p^.y*l^.y + p^.z*l^.z
end;
function element(p: point; l: line): boolean;
begin
element:=scalar(p,l)=0
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Ako imamo zadata dva vektora,
onda vektor normalan na oba nalazimo kao njihov vektorski proizvod.
To nam daje postupak za nalazenje P-tacke koja je presek dve P-prave.
<blockquote>
<pre>
function vector(l1,l2: line): point;
begin
vector:=newpoint(
l1^.y * l2^.z - l1^.z * l2^.y,
l1^.z * l2^.x - l1^.x * l2^.z,
l1^.x * l2^.y - l1^.y * l2^.x)
end;
</pre>
</blockquote>
Zbog tzv principa dualnosti, koji je posledica gore navedene prirodne bijekcije, za nalazenje P-prave koja prolazi kroz dve zadate P-tacke mozemo takodje koristiti funkciju
<code>vector</code>.
<p>
Prva neelementarna konstrukcija je konstrukcija preseka pravih
<math>
<em>AB</em>
</math>
i
<math>
<em>CD</em>
</math>,
pri cemu su
<math>
<em>A, B, C, D</em>
</math>
date tacke.
U Projektivnoj geometriji se ta tacka zove
dijagonalna tacka (jedna od tri) potpunog cetvorotemenika
<math>
<em>ABCD</em>
</math>.
<blockquote>
<pre>
function perspective(A1,S: point, p: line): point;
(* Konstruise sliku tacke A1 perspektivnim preslikavanjem *)
(* sa centrom S na pravoj p *)
var a: line; A2: point;
begin
a:=vector(A1,S); A2:=vector(a,p);
dispose(a); perspective:=A2
end;
</pre>
</blockquote>
<blockquote>
<pre>
function diagonalpoint(A,B,C,D: point): point;
(* Konstruise dijagonalnu tacku cetvorotemenika ABCD *)
(* u preseku naspramnih strana AB i CD *)
var p: line; X: point;
begin
p:=vector(C,D); X:=perspective(A,B,p);
dispose(p); diagonalpoint:=X
end;
</pre>
</blockquote>
<blockquote>
<pre>
function diagonalline(A,B,C,D: point): line;
(* Konstruise dijagonalnu stranu cetvorotemenika ABCD *)
(* naspram diagonalpoint(A,B,C,D) *)
var Y,Z: point; x: line;
begin
Y:=diagonalpoint(B,C,A,D); Z:=diagonalpoint(A,C,B,D);
x:=vector(Y,Z); dispose(Y); dispose(Z);
diagonalline:=x
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Sledi konstrukcija ose projektivnog preslikavanja ili tzv Papusove prave za sest tacaka koje leze na dve prave.
<blockquote>
<pre>
function pappus(a,b,c,d,e: line): line;
(* Konstruise Papusovu pravu za tacke ae,be,ce,ad,bd,cd *)
var P,Q: point; o: line;
begin
P:=diagonalline(c,b,d,e); Q:=diagonalline(a,b,d,e);
o:=vector(P,Q); dispose(P); dispose(Q);
pascal:=o
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Sledeca funkcija projektuje tacku
<math>
<em>X</em>
</math>
na krivu
<math>
<em>B, D, E, DO, EO</em>
</math>
perspektivno iz
<math>
<em>E</em>
</math>
koriscenjem projektivnog preslikavanja iz Stajnerove teoreme.
Preslikavanje je perspektivno akko su
<math>
<em>D, E, O</em>
</math> kolinearne.
<blockquote>
<pre>
function stajner(B,D,E,O,X: point): point;
(* Stajnerova teorema kaze da se x1 i x2 seku *)
(* u tacki koja pripada konici akko je x2 slika od x1 *)
(* u projektivnom preslikavanju: EO,b1,ED -> DE,b2,DO *)
var b1,b2,x0,x1,x2: line; F: point;
begin
x1:=vector(E,X); b1:=vector(E,B); b2:=vector(D,B);
x0:=perspective(x1,b2,O); x2:=perspective(x0,b1,D);
F:=vector(x1,x2); dispose(b1); dispose(b2);
dispose(x0); dispose(x1); dispose(x2);
stajner:=F
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Sledi konstrukcija krive.
<blockquote>
<pre>
const points=20; pi=3.1415926;
procedure showconic(B,D,E,O: point);
var P: point; t: real;
begin
writeln('newpath'); new(P);
P^.x:=D^.x-B^.x;
P^.y:=D^.y-B^.y;
P^.z:=D^.z-B^.z;
with P^ do writeln(' ',x/z:6:2,' ',y/z:6:2,' moveto');
for i:=1 to points-1 do begin
t:=tan((i/points-0.5)*pi);
P^.x:=B^.x + (D^.x-B^.x) * t;
P^.y:=B^.y + (D^.y-B^.y) * t;
P^.z:=B^.z + (D^.z-B^.z) * t;
with stajner(B,D,E,O,P)^ do
writeln(' ',x/z:6:2,' ',y/z:6:2,' lineto');
end; dispose(P)
writeln('closepath');
writeln('stroke');
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Konstrukcija duzi.
<blockquote>
<pre>
procedure showsegment(A,B: point);
begin
writeln('newpath');
with A^ do writeln(' ',x/z:6:2,' ',y/z:6:2,' moveto');
with B^ do writeln(' ',x/z:6:2,' ',y/z:6:2,' lineto');
writeln('stroke');
end;
</pre>
</blockquote>
<p>
Test program.
<blockquote>
<pre>
program conics;
var A,B,C,D,E,O: point;
begin
writeln('%!');
writeln('%%BoundingBox 0 0 144 144');
writeln('% This is an automaticaly generated .eps file.');
writeln('% Do not edit! Edit the source and recompile.');
writeln('% See http://www.im.ns.ac.yu/~nenad/Conic/');
A:=newpoint(92,54,1);
B:=newpoint(23,65,1);
C:=newpoint(72,71,1);
D:=newpoint(76,41,1);
E:=newpoint(73,83,1);
showsegment(B,D);
showsegment(B,E);
O:=pappus(A,B,C,D,E);
showsegment(O,D);
showsegment(O,E);
showconic(B,D,E,O)
end.
</pre>
</blockquote>
</body>
</html>