Wide&Deep模型的提出不仅综合了“记忆能力”和“泛化能力”， 而且开启了不同网络结构融合的新思路。 所以后面就有各式各样的模型改进Wide部分或者Deep部分， 而Deep&Cross模型(DCN)就是其中比较典型的一个，这是2017年斯坦福大学和谷歌的研究人员在ADKDD会议上提出的， 该模型针对W&D的wide部分进行了改进， 因为Wide部分有一个不足就是需要人工进行特征的组合筛选， 过程繁琐且需要经验， 而2阶的FM模型在线性的时间复杂度中自动进行特征交互，但是这些特征交互的表现能力并不够，并且随着阶数的上升，模型复杂度会大幅度提高。于是乎，作者用一个Cross Network替换掉了Wide部分，来自动进行特征之间的交叉，并且网络的时间和空间复杂度都是线性的。 通过与Deep部分相结合，构成了深度交叉网络（Deep & Cross Network），简称DCN。
这个模型的结构是这个样子的：
这个模型的结构也是比较简洁的， 从下到上依次为：Embedding和Stacking层， Cross网络层与Deep网络层并列， 以及最后的输出层。下面也是一一为大家剖析。
Embedding层我们已经非常的熟悉了吧， 这里的作用依然是把稀疏离散的类别型特征变成低维密集型。
$$
\mathbf{x}{\text {embed, } i}=W{\text {embed, } i} \mathbf{x}{i}
$$
其中对于某一类稀疏分类特征（如id），$X{embed, i}$是第个$i$分类值（id序号）的embedding向量。$W_{embed,i}$是embedding矩阵，
最后，该层需要将所有的密集型特征与通过embedding转换后的特征进行联合（Stacking）： $$ \mathbf{x}{0}=\left[\mathbf{x}{\text {embed, } 1}^{T}, \ldots, \mathbf{x}{\text {embed, }, k}^{T}, \mathbf{x}{\text {dense }}^{T}\right] $$ 一共$k$个类别特征， dense是数值型特征， 两者在特征维度拼在一块。 上面的这两个操作如果是看了前面的模型的话，应该非常容易理解了。
这个就是本模型最大的亮点了【Cross网络】， 这个思路感觉非常Nice。设计该网络的目的是增加特征之间的交互力度。交叉网络由多个交叉层组成， 假设第$l$层的输出向量$x_l$， 那么对于第$l+1$层的输出向量$x_{l+1}$表示为：
$$ \mathbf{x}{l+1}=\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{l}^{T} \mathbf{w}{l}+\mathbf{b}{l}+\mathbf{x}{l}=f\left(\mathbf{x}{l}, \mathbf{w}{l}, \mathbf{b}{l}\right)+\mathbf{x}{l} $$ 可以看到， 交叉层的二阶部分非常类似PNN提到的外积操作， 在此基础上增加了外积操作的权重向量$w_l$， 以及原输入向量$x_l$和偏置向量$b_l$。 交叉层的可视化如下：
可以看到， 每一层增加了一个$n$维的权重向量$w_l$（n表示输入向量维度）， 并且在每一层均保留了输入向量， 因此输入和输出之间的变化不会特别明显。关于这一层， 原论文里面有个具体的证明推导Cross Network为啥有效， 不过比较复杂，这里我拿一个式子简单的解释下上面这个公式的伟大之处：
我们根据上面这个公式， 尝试的写前面几层看看:
$l=0:\mathbf{x}{1} =\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{0}^{T} \mathbf{w}{0}+ \mathbf{b}{0}+\mathbf{x}{0}$
$l=1:\mathbf{x}{2} =\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{1}^{T} \mathbf{w}{1}+ \mathbf{b}{1}+\mathbf{x}{1}=\mathbf{x}{0} [\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{0}^{T} \mathbf{w}{0}+ \mathbf{b}{0}+\mathbf{x}{0}]^{T}\mathbf{w}{1}+\mathbf{b}{1}+\mathbf{x}_{1}$
$l=2:\mathbf{x}{3} =\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{2}^{T} \mathbf{w}{2}+ \mathbf{b}{2}+\mathbf{x}{2}=\mathbf{x}{0} [\mathbf{x}{0} [\mathbf{x}{0} \mathbf{x}{0}^{T} \mathbf{w}{0}+ \mathbf{b}{0}+\mathbf{x}{0}]^{T}\mathbf{w}{1}+\mathbf{b}{1}+\mathbf{x}{1}]^{T}\mathbf{w}{2}+\mathbf{b}{2}+\mathbf{x}_{2}$
我们暂且写到第3层的计算， 我们会发现什么结论呢？ 给大家总结一下：
-
$\mathrm{x}_1$ 中包含了所有的$\mathrm{x}_0$的1,2阶特征的交互，$\mathrm{x}_2$ 包含了所有的$\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_0$的1、2、3阶特征的交互，$\mathrm{x}_3$中包含了所有的$\mathrm{x}_2$,$\mathrm{x}_1$ 与$\mathrm{x}_0$的交互，$\mathrm{x}_0$的1、2、3、4阶特征交互。 因此， 交叉网络层的叉乘阶数是有限的。 第$l$层特征对应的最高的叉乘阶数$l+1$ -
Cross网络的参数是共享的， 每一层的这个权重特征之间共享， 这个可以使得模型泛化到看不见的特征交互作用， 并且对噪声更具有鲁棒性。 例如两个稀疏的特征$x_i,x_j$， 它们在数据中几乎不发生交互， 那么学习$x_i,x_j$的权重对于预测没有任何的意义。
-
计算交叉网络的参数数量。 假设交叉层的数量是$L_c$， 特征$x$的维度是$n$， 那么总共的参数是：
$$ n\times L_c \times 2 $$ 这个就是每一层会有$w$和$b$。且$w$维度和$x$的维度是一致的。
-
交叉网络的时间和空间复杂度是线性的。这是因为， 每一层都只有$w$和$b$， 没有激活函数的存在，相对于深度学习网络， 交叉网络的复杂性可以忽略不计。
-
Cross网络是FM的泛化形式， 在FM模型中， 特征$x_i$的权重$v_i$， 那么交叉项$x_i,x_j$的权重为$<x_i,x_j>$。在DCN中，
$x_i$ 的权重为${W_K^{(i)}}{k=1}^l$, 交叉项$x_i,x_j$的权重是参数${W_K^{(i)}}{k=1}^l$和${W_K^{(j)}}_{k=1}^l$的乘积，这个看上面那个例子展开感受下。因此两个模型都各自学习了独立于其他特征的一些参数，并且交叉项的权重是相应参数的某种组合。FM只局限于2阶的特征交叉(一般)，而DCN可以构建更高阶的特征交互， 阶数由网络深度决定，并且交叉网络的参数只依据输入的维度线性增长。 -
还有一点我们也要了解，对于每一层的计算中， 都会跟着$\mathrm{x}_0$, 这个是咱们的原始输入， 之所以会乘以一个这个，是为了保证后面不管怎么交叉，都不能偏离我们的原始输入太远，别最后交叉交叉都跑偏了。
-
$\mathbf{x}{l+1}=f\left(\mathbf{x}{l}, \mathbf{w}{l}, \mathbf{b}{l}\right)+\mathbf{x}_{l}$, 这个东西其实有点跳远连接的意思，也就是和ResNet也有点相似，无形之中还能有效的缓解梯度消失现象。
好了， 关于本模型的交叉网络的细节就介绍到这里了。这应该也是本模型的精华之处了，后面就简单了。
这个就和上面的D&W的全连接层原理一样。这里不再过多的赘述。 $$ \mathbf{h}{l+1}=f\left(W{l} \mathbf{h}{l}+\mathbf{b}{l}\right) $$ 具体的可以参考W&D模型。
这个层负责将两个网络的输出进行拼接， 并且通过简单的Logistics回归完成最后的预测： $$ p=\sigma\left(\left[\mathbf{x}{L{1}}^{T}, \mathbf{h}{L{2}}^{T}\right] \mathbf{w}{\text {logits }}\right) $$ 其中$\mathbf{x}{L_{1}}^{T}$和$\mathbf{h}{L{2}}^{T}$分别表示交叉网络和深度网络的输出。 最后二分类的损失函数依然是交叉熵损失： $$ \text { loss }=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y_{i} \log \left(p_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-p_{i}\right)+\lambda \sum_{l}\left|\mathbf{w}_{i}\right|^{2} $$
Cross&Deep模型的原理就是这些了，其核心部分就是Cross Network， 这个可以进行特征的自动交叉， 避免了更多基于业务理解的人工特征组合。 该模型相比于W&D，Cross部分表达能力更强， 使得模型具备了更强的非线性学习能力。
下面我们看下DCN的代码复现，这里主要是给大家说一下这个模型的设计逻辑，参考了deepctr的函数API的编程风格， 具体的代码以及示例大家可以去参考后面的GitHub，里面已经给出了详细的注释， 这里主要分析模型的逻辑这块。关于函数API的编程式风格，我们还给出了一份文档， 大家可以先看这个，再看后面的代码部分，会更加舒服些。
从上面的结构图我们也可以看出， DCN的模型搭建，其实主要分为几大模块， 首先就是建立输入层，用到的函数式build_input_layers，有了输入层之后， 我们接下来是embedding层的搭建，用到的函数是build_embedding_layers， 这个层的作用是接收离散特征，变成低维稠密。 接下来就是把连续特征和embedding之后的离散特征进行拼接，分别进入wide端和deep端。 wide端就是交叉网络，而deep端是DNN网络， 这里分别是CrossNet()和get_dnn_output(), 接下来就是把这两块的输出拼接得到最后的输出了。所以整体代码如下：
def DCN(linear_feature_columns, dnn_feature_columns):
# 构建输入层，即所有特征对应的Input()层，这里使用字典的形式返回，方便后续构建模型
dense_input_dict, sparse_input_dict = build_input_layers(linear_feature_columns + dnn_feature_columns)
# 构建模型的输入层，模型的输入层不能是字典的形式，应该将字典的形式转换成列表的形式
# 注意：这里实际的输入与Input()层的对应，是通过模型输入时候的字典数据的key与对应name的Input层
input_layers = list(dense_input_dict.values()) + list(sparse_input_dict.values())
# 构建维度为k的embedding层，这里使用字典的形式返回，方便后面搭建模型
embedding_layer_dict = build_embedding_layers(dnn_feature_columns, sparse_input_dict, is_linear=False)
concat_dense_inputs = Concatenate(axis=1)(list(dense_input_dict.values()))
# 将特征中的sparse特征筛选出来
sparse_feature_columns = list(filter(lambda x: isinstance(x, SparseFeat), linear_feature_columns)) if linear_feature_columns else []
sparse_kd_embed = concat_embedding_list(sparse_feature_columns, sparse_input_dict, embedding_layer_dict, flatten=True)
concat_sparse_kd_embed = Concatenate(axis=1)(sparse_kd_embed)
dnn_input = Concatenate(axis=1)([concat_dense_inputs, concat_sparse_kd_embed])
dnn_output = get_dnn_output(dnn_input)
cross_output = CrossNet()(dnn_input)
# stack layer
stack_output = Concatenate(axis=1)([dnn_output, cross_output])
# 这里的激活函数使用sigmoid
output_layer = Dense(1, activation='sigmoid')(stack_output)
model = Model(input_layers, output_layer)
return model这个模型的实现过程和DeepFM比较类似，这里不画草图了，如果想看的可以去参考DeepFM草图及代码之间的对应关系。
下面是一个通过keras画的模型结构图，为了更好的显示，类别特征都只是选择了一小部分，画图的代码也在github中。
- 请计算Cross Network的复杂度，需要的变量请自己定义。
- 在实现矩阵计算$x_0*x_l^Tw$的过程中，有人说要先算前两个，有人说要先算后两个，请问那种方式更好？为什么？
参考资料