-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Mekanikk.html
411 lines (375 loc) · 10.7 KB
/
Mekanikk.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="utf-8"/>
<title>(Mekanikk)</title>
<meta name="author" content="(Sigmund Hansen)"/>
<link rel="stylesheet" href="./reveal.js/css/reveal.min.css"/>
<link rel="stylesheet" href="./reveal.js/css/theme/night.css" id="theme"/>
<link rel="stylesheet" href="bigsource.css"/>
<link rel="stylesheet" href="./reveal.js/css/print/pdf.css" type="text/css" media="print"/>
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
</head>
<body>
<div class="reveal">
<div class="slides">
<section>
<h1>Mekanikk</h1>
<h2>Sigmund Hansen</h2>
<h2><a href="mailto:sigmunha@ifi.uio.no">sigmunha@ifi.uio.no</a></h2>
<h2></h2></section>
\begin{equation}
\def\sfrac#1#2{%
\raise.75ex{\small#1}%
\kern-.15em/\kern-.15em%
\lower.25ex{\small#2}}
\end{equation}
<section>
<section id="sec-1" >
<h2><span class="section-number-2">1</span> Newtonsk mekanikk</h2>
<ul class="org-ul">
<li>Beskriver hvordan krefter forårsaker bevegelse
</li>
<li><code>F = ma</code> - Newtons andre lov om bevegelse
</li>
<li>Dette skal vi simulere!
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-2" >
<h2><span class="section-number-2">2</span> Koordinater</h2>
<ul class="org-ul">
<li>2 dimensjoner: X og Y
</li>
<li>Origo: øverst til venstre
</li>
<li>Y-aksen er invertert (ned er positiv)
</li>
<li>Hvor mange piksler er en meter?
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-3" >
<h2><span class="section-number-2">3</span> Vektorer</h2>
<ul class="org-ul">
<li>To eller flere verdier (én per dimensjon)
</li>
<li>X og Y i 2D
</li>
<li>Kan representere: posisjon, hastighet, akselerasjon, kraft
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-3-1" >
<h3><span class="section-number-3">3.1</span> Uavhengighetsprinsippet</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Hver dimensjon i en vektor er uavhengig av hver andre
</li>
<li>Det vil si at vi kan regne på X uavhengig av Y
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-3-2" >
<h3><span class="section-number-3">3.2</span> Addisjon</h3>
<ul class="org-ul">
<li>\(\vec{u} + \vec{v} = \left(u_x + v_x, u_y + v_y\right)\)
</li>
<li>Tilsvarende ved subtraksjon:
\(\vec{u} - \vec{v} = \left(u_x - v_x, u_y - v_y\right)\)
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-3-3" >
<h3><span class="section-number-3">3.3</span> Skalarmultiplikasjon</h3>
<ul class="org-ul">
<li>\(a\vec{u} = \left(au_x, au_y\right)\)
</li>
<li>Tilsvarende for deling med skalar:
\(\frac{\vec{u}}{a} = \left(\frac{u_x}{a}, \frac{u_y}{a}\right)\)
</li>
<li>Eller:
\(\frac{1}{a}\vec{u} = \left(\frac{1}{a}u_x, \frac{1}{a}u_y\right)\)
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-3-4" >
<h3><span class="section-number-3">3.4</span> Lengde</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Lengden finner vi ved hjelp av Pythagoras læresetning
</li>
<li>\(|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\)
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-3-5" >
<h3><span class="section-number-3">3.5</span> Normalisering</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Enhetsvektor er en vektor med lengde 1
</li>
<li>Normalisering skalerer en vektor til en enhetsvektor
</li>
<li>Vektoren deles på sin lengde:
\(\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\)
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-4" >
<h2><span class="section-number-2">4</span> Posisjon</h2>
<ul class="org-ul">
<li>Plassering i rommet: X og Y
</li>
<li>Meter?
</li>
<li>Piksler?
</li>
<li>Noen krefter har posisjon (gravitasjon)
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-5" >
<h2><span class="section-number-2">5</span> Hastighet</h2>
<ul class="org-ul">
<li>Endring i posisjon over tid
</li>
<li>Meter per sekund? \(\sfrac{m}{s}\)
</li>
<li>Piksler per sekund? \(\sfrac{px}{s}\)
</li>
<li>Posisjon endres i X og Y
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-6" >
<h2><span class="section-number-2">6</span> Akselerasjon</h2>
<ul class="org-ul">
<li>Endring i hastighet over tid
</li>
<li>Meter per sekund per sekund? \(\sfrac{m}{s^2}\)
</li>
<li>Piksler per sekund per sekund? \(\sfrac{px}{s^2}\)
</li>
<li>Hastigheten endres i X og Y
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-7" >
<h2><span class="section-number-2">7</span> Krefter</h2>
<ul class="org-ul">
<li><code>F = ma</code>
</li>
<li>\(1N = 1kg \sfrac{m}{s^2}\)
</li>
<li>\(a = \frac{F}{m}\)
</li>
<li>\(1 \frac{N}{kg} = 1 \sfrac{m}{s^2}\)
</li>
<li>Vi ser på tyngdekraft
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-7-1" >
<h3><span class="section-number-3">7.1</span> På nært hold</h3>
<ul class="org-ul">
<li>En kraft som virker rett ned
</li>
<li>Retning på kraften er ikke avhengig av posisjon
</li>
<li>Representere kun som en vektor?
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-7-1-1" >
<h4><span class="section-number-4">7.1.1</span> Gravitasjon som virker rett ned</h4>
<ul class="org-ul">
<li>Ser bort fra luftmotstand og massetetthet
</li>
<li>Tilnærmet konstant akselerasjon (\(9.81 \sfrac{m}{s^2}\))
</li>
<li>Hvordan representere dette?
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-7-1-2" >
<h4><span class="section-number-4">7.1.2</span> Forslag til løsning</h4>
<ul class="org-ul">
<li>Krefter kan ha en funksjon som returnerer akselerasjonen
</li>
<li>Den tar imot fysiske objekter som argument
</li>
<li>Disse har masse, posisjon, hastighet
</li>
<li>Vil fungere for andre typer krefter også
</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-java"><span style="color: #a020f0;">class</span> <span style="color: #228b22;">Force</span> {
<span style="color: #228b22;">Vector</span> <span style="color: #0000ff;">acceleration</span>(<span style="color: #228b22;">PhysicalObject</span> <span style="color: #a0522d;">o</span>) {
<span style="color: #a020f0;">return</span> <span style="color: #a020f0;">new</span> <span style="color: #228b22;">Vector</span>(0, 9.81);
}
}
</pre>
</div>
</section>
<section id="sec-7-2" >
<h3><span class="section-number-3">7.2</span> På lang avstand</h3>
<ul class="org-ul">
<li>En kraft som virker mot et legemes sentrum
</li>
<li>Avhengig av massen og avstanden til objektene
</li>
<li>\(F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\)
</li>
<li>\(a_1 = \frac{F}{m_1}
= G\frac{\not{m_1}m_2}{\not{m_1}r^2}
= G\frac{m_2}{r^2}\)
</li>
<li>Tilsvarende for det andre legemet
</li>
<li>\(G \approx 6.674 \times 10^{-11}\)
</li>
<li>\(G\) tilpasses programmet, prøv ut flere verdier
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-7-2-1" >
<h4><span class="section-number-4">7.2.1</span> Distansen mellom objektene</h4>
<ul class="org-ul">
<li>\(\vec{r} = \vec{p_2} - \vec{p_1}\)
</li>
<li>\(r^2 = \vec{r}^2 = r_x^2 + r_y^2\)
</li>
<li>Vi kan nå regne ut akselerasjonen
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-7-2-2" >
<h4><span class="section-number-4">7.2.2</span> Retning på kraften</h4>
<ul class="org-ul">
<li>Kraften har retning
</li>
<li>Vi har allerede magnituden
</li>
<li>\(\vec{a_1} = \hat{r}G\frac{m_2}{r^2}\)
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-8" >
<h2><span class="section-number-2">8</span> Simulering</h2>
<ul class="org-ul">
<li>Regn ut akselerasjonen (summer akselerasjonen fra alle kreftene)
</li>
<li>Oppdater hastigheten basert på tilbakelagt tid og akselerasjonen
</li>
<li>Oppdater posisjonen basert på tilbakelagt tid og hastigheten
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-9" >
<h2><span class="section-number-2">9</span> Oppgaver</h2>
</section>
<section id="sec-9-1" >
<h3><span class="section-number-3">9.1</span> Lag en vektorklasse</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Dere kan ta utgangspunkt i Vectors.pde
</li>
<li>Fyll ut funksjonene slik at de passer beskrivelsen
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-9-2" >
<h3><span class="section-number-3">9.2</span> Kast med liten ball</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Lag et program som simulerer kast med liten ball
</li>
<li>Bruk vektorklassen dere lagde i forrige oppgave
</li>
<li>Start med en hastighet og en retning på ballen (f.eks. \(\vec{v} =
(7, -12)\))
</li>
<li>Hvis du får tid, kan du:
<ul class="org-ul">
<li>La brukeren "kaste" baller med musa
</li>
<li>Legge til en forenklet luftmotstand som en kraft
(akselerasjonen bestemmes av hastigheten til ballen
multiplisert med et negativt tall).
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-9-3" >
<h3><span class="section-number-3">9.3</span> Stuff in space</h3>
<ul class="org-ul">
<li>Lag et program som simulerer to objekter i rommet og deres
tiltrekning på hverandre
</li>
<li>Gi objektene en starthastighet og se hvordan det påvirker
simuleringen
</li>
<li>Hvis du får tid, kan du:
<ul class="org-ul">
<li>Prøve å legge til flere objekter
</li>
<li>La brukeren legge inn nye objekter med musa
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</section>
</section>
</div>
</div>
<script src="./reveal.js/lib/js/head.min.js"></script>
<script src="./reveal.js/js/reveal.min.js"></script>
<script>
// Full list of configuration options available here:
// https://github.com/hakimel/reveal.js#configuration
Reveal.initialize({
controls: true,
progress: true,
history: false,
center: true,
rollingLinks: false,
keyboard: true,
overview: true,
// slide width
// slide height
// slide margin
// slide minimum scaling factor
// slide maximum scaling factor
theme: Reveal.getQueryHash().theme, // available themes are in /css/theme
transition: Reveal.getQueryHash().transition || 'default', // default/cube/page/concave/zoom/linear/fade/none
transitionSpeed: 'default',
// Optional libraries used to extend on reveal.js
dependencies: [
{ src: './reveal.js/lib/js/classList.js', condition: function() { return !document.body.classList; } }
,{ src: './reveal.js/plugin/markdown/showdown.js', condition: function() { return !!document.querySelector( '[data-markdown]' ); } }
,{ src: './reveal.js/plugin/markdown/markdown.js', condition: function() { return !!document.querySelector( '[data-markdown]' ); } }
,{ src: './reveal.js/plugin/highlight/highlight.js', async: true, callback: function() { hljs.initHighlightingOnLoad(); } }
,{ src: './reveal.js/plugin/zoom-js/zoom.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
,{ src: './reveal.js/plugin/notes/notes.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
// { src: './reveal.js/plugin/search/search.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
// { src: './reveal.js/plugin/remotes/remotes.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
]
});
</script>
</body>
</html>